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À custa de ou a custa de – É locução prepositiva feminina, portanto se usa com crase. Exemplos:
1) Lanço livro à custa de muito trabalho e esforço.
2) “Nesse bate perna, fez muitos amigos às custas das bugigangas.” (Valdemir Mourão. Histórias Contadas no Alpendre, p.13, 2014).
3) “Publicara, inclusive, um livro de poemas, editado às próprias custas…” (Juarez Leitão. Sábado Estação de Viver, p.145, 2000).
4) “Voltou ao quarto do hospital para recuperação, à custa de medicamentos fortes contendo corticoide.” (Valdemir Mourão. Histórias contadas no alpendre, p.114, 2014).